Questão (
pontos) - Seja
.
a) Determine e faça um esboço para a curva de nível
.
b) Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
a) Determine e faça um esboço para a curva de nível
b) Determine o plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
– (a) encontrar e esboçar a curva de nível .
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de no ponto
.
Para (a) usamos a definição de curva de nível e reconhecemos o tipo de curva no plano . Para (b) usamos derivadas parciais e a fórmula do plano tangente (aproximação linear).
– (a) encontrar e esboçar a curva de nível
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de
Para (a) usamos a definição de curva de nível e reconhecemos o tipo de curva no plano
Passo 2
Para a curva de nível
resolvemos
e elevando ao quadrado obtemos
Isso define uma elipse no plano
.
Passo 3
A elipse
tem semi-eixo em
igual a
e em
igual a
. Ou seja, intercepta os eixos em
No esboço, basta desenhar uma elipse centrada na origem com essas interceptações.
Passo 4
Para o plano tangente usamos
logo
No ponto
temos
, portanto
Passo 5
A fórmula do plano tangente em
é
Substituindo
e
dá
Resposta
a) A curva de nível
é a elipse
com interceptos em
e
.
b) O plano tangente ao gráfico de
em
é