1^2 Questão ( 2 , 0 pontos) - Seja f(x, y)=3-raizx^2+4 y^2.
a) Determine e faça um esboço para a curva de nível f(x, y)=k, k=2.
b) Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3-raizx^2+4y^2
e pede duas coisas:
– (a) encontrar e esboçar a curva de nível f(x,y)=2.
– (b) determinar o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0,1,1).
Para (a) usamos a definição de curva de nível e reconhecemos o tipo de curva no plano xy. Para (b) usamos derivadas parciais e a fórmula do plano tangente (aproximação linear).

Passo 2

Para a curva de nível f(x,y)=2 resolvemos
3-raizx^2+4y^2=2
raizx^2+4y^2=1
e elevando ao quadrado obtemos
x^2+4y^2=1
Isso define uma elipse no plano xy.

Passo 3

A elipse x^2+4y^2=1 tem semi-eixo em x igual a 1 e em y igual a tfrac12. Ou seja, intercepta os eixos em
(x,y)=(pm1,0)e(x,y)=(0,pmtfrac12)
No esboço, basta desenhar uma elipse centrada na origem com essas interceptações.

Passo 4

Para o plano tangente usamos
z=f(x,y),
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fx(x,y)=-xraizx^2+4y^2, fy(x,y)=-4yraizx^2+4y^2
No ponto (0,1) temos raiz0+4cdot1^2=2, portanto
fx(0,1)=0, fy(0,1)=-4cdot12=-2

Passo 5

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0)=(0,1,1) é
z-z0 = fx(0,1),(x-0) + fy(0,1),(y-1)
Substituindo fx(0,1)=0 e fy(0,1)=-2
z-1 = 0cdot x + (-2)(y-1) Longrightarrow z-1 = -2y+2 Longrightarrow z = 3 - 2y

Resposta

a) A curva de nível f(x,y)=2 é a elipse
x^2 + 4y^2 = 1,
com interceptos em (pm1,0) e (0,pmtfrac12).
b) O plano tangente ao gráfico de f em (0,1,1) é
z = 3 - 2y

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