Para cada item, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função $ f(x, y) = x^{3} y^{4} $ e um ponto específico $ P = (1, 1, 1) $. O desafio é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1, 1) $. Isso vai nos dar as inclinações do plano tangente nas direções $ x $ e $ y $ naquele ponto.
Calculando $ f_x(1, 1) $:
Calculando $ f_y(1, 1) $:
Passo 4
Com as derivadas parciais no ponto $ P $, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde $ (a, b, f(a, b)) $ é o ponto de tangência, que aqui é $ (1, 1, 1) $.
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para deixá-la mais bonita:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de $ f(x, y) = x^{3} y^{4} $ no ponto $ P = (1, 1, 1) $ é: