Para cada item, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P indicado.
f(x, y)=x^3 y^4, P=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função $ f(x, y) = x^{3} y^{4} $ e um ponto específico $ P = (1, 1, 1) $. O desafio é encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1, 1) $. Isso vai nos dar as inclinações do plano tangente nas direções $ x $ e $ y $ naquele ponto.
Calculando $ f_x(1, 1) $:
P = (1, 1, 1)
Calculando $ f_y(1, 1) $:
x

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto $ P $, podemos usar a fórmula do plano tangente:
P
Onde $ (a, b, f(a, b)) $ é o ponto de tangência, que aqui é $ (1, 1, 1) $.
Substituindo os valores que temos:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)

Passo 5

Vamos simplificar a equação para deixá-la mais bonita:
z = 1 + 3x - 3 + 4y - 4
z = 3x + 4y - 6

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de $ f(x, y) = x^{3} y^{4} $ no ponto $ P = (1, 1, 1) $ é:
f(x, y) = x^3 y^4

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