Para cada item, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
indicado.
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = x e^{\sin y} $ no ponto $ P = \left(1, \frac{\pi}{4}, e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo, especificamente com derivadas parciais para determinar o plano tangente. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais da função e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto $ P $ está realmente no gráfico da função $ f(x, y) $. Para isso, substituímos $ x = 1 $ e $ y = \frac{\pi}{4} $ na função:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Isso confirma que o ponto $ P \left(1, \frac{\pi}{4}, e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) $ está no gráfico de $ f $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $, que são $ f_x $ e $ f_y $, respectivamente. Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação do plano tangente nas direções de $ x $ e $ y $.
Primeiro, vamos calcular $ f_x $, a derivada de $ f $ em relação a $ x $:
Em seguida, calculamos $ f_y $, a derivada de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P \left(1, \frac{\pi}{4}\right) $:
Para $ f_x $:
Para $ f_y $:
Passo 5
Com as derivadas parciais avaliadas no ponto $ P $, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ P $ é: