Use derívaçăo implicita para, encontrar partial z / partial x in e partial z / partial y, sabendo que
y^y z+x ln y=z^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
x
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica usada quando $ z $ está definida de forma implícita por uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos precisar lembrar de algumas regras de derivação, como a da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
y^y z + x ln y = z^2
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Como $ z $ depende de $ x $ e $ y $, ao derivarmos a equação em relação a $ x $ ou $ y $, teremos que considerar que $ z $ também está mudando com $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como constante (porque estamos derivando em relação a $ x $).
Derivando o lado esquerdo:
partial zpartial x
Derivando o termo $ y^{y z} $:
Para derivar $ y^{y z} $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reconhecemos que $ y^{y z} = e^{y z \ln y} $. Então, a derivada será:
x
Derivando o termo $ x \ln y $:
Como $ \ln y $ é constante em relação a $ x $, a derivada é simplesmente:
y
Então, a derivada total do lado esquerdo em relação a $ x $ é:
x
Derivando o lado direito:
partialpartial x ( y^y z + x ln y )

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
y^y z cdot y ln y cdot partial zpartial x + ln y = 2 z cdot partial zpartial x
Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Primeiro, movemos o termo constante para o outro lado:
partial zpartial x
Fatoramos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
y^y z cdot y ln y cdot partial zpartial x - 2 z cdot partial zpartial x = - ln y
Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x

Passo 5

Agora vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Dessa vez, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
Derivando o lado esquerdo:
partial zpartial y
Derivando o termo $ y^{y z} $:
Usamos novamente a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos $ y^{y z} = e^{y z \ln y} $. A derivada será:
y
Derivando o termo $ x \ln y $:
A derivada é:
x
Então, a derivada total do lado esquerdo em relação a $ y $ é:
partialpartial y ( y^y z + x ln y )
Derivando o lado direito:
y^y z

Passo 6

Igualamos as derivadas dos dois lados:
y^y z cdot z ( ln y + 1 ) + xy = 2 z cdot partial zpartial y
Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Simplificando:
partial zpartial y = y^y z cdot z ( ln y + 1 ) + xy 2 z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - ln y y^y z + 1 ln y - 2 z
e
partial zpartial y = y^y z cdot ( ln y + 1 ) + xy z 2

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