Use derívaçăo implicita para, encontrar
e
, sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação envolvendo as variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica usada quando $ z $ está definida de forma implícita por uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $. Vamos precisar lembrar de algumas regras de derivação, como a da cadeia e a derivada de funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Como $ z $ depende de $ x $ e $ y $, ao derivarmos a equação em relação a $ x $ ou $ y $, teremos que considerar que $ z $ também está mudando com $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos começar encontrando $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ x $, tratando $ y $ como constante (porque estamos derivando em relação a $ x $).
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o termo $ y^{y z} $:
Para derivar $ y^{y z} $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reconhecemos que $ y^{y z} = e^{y z \ln y} $. Então, a derivada será:
Derivando o termo $ x \ln y $:
Como $ \ln y $ é constante em relação a $ x $, a derivada é simplesmente:
Então, a derivada total do lado esquerdo em relação a $ x $ é:
Derivando o lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Primeiro, movemos o termo constante para o outro lado:
Fatoramos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Finalmente, isolamos $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 5
Agora vamos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Dessa vez, derivamos ambos os lados da equação em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o termo $ y^{y z} $:
Usamos novamente a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos $ y^{y z} = e^{y z \ln y} $. A derivada será:
Derivando o termo $ x \ln y $:
A derivada é:
Então, a derivada total do lado esquerdo em relação a $ y $ é:
Derivando o lado direito:
Passo 6
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Vamos isolar $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e