Em cada item, determine a equação da reta tangente:
à curva y=1x no ponto em que x=1 / 3.

Passo 1

Vamos encontrar a reta tangente à curva y = 1x no ponto de abscissa x = tfrac13. O conteúdo envolvido é derivadas de funções negativas de potência e a forma da reta tangente ponto-declive. Vamos precisar calcular o valor da função nesse ponto, a derivada e usar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, avaliamos a função no ponto x0 = tfrac13. Temos y0 = fl(tfrac13r) = 1tfrac13 = 3
Em seguida, obtemos a derivada de y = 1x = x^-1. Usando a regra de potência, a derivada é f'(x) = -1 cdot x^-2 = -1x^2

Passo 3

Logo, o coeficiente angular da reta tangente em x0 = tfrac13 é m = f'l(tfrac13r) = -1(tfrac13)^2 = -1tfrac19 = -9

Passo 4

Finalmente, usamos a forma ponto-declive da reta tangente: y - y0 = ml(x - x0r)

Passo 5

Substituindo x0 = tfrac13, y0 = 3 e m = -9, y - 3 = -9l(x - tfrac13r)

Passo 6

Simplificando, y - 3 = -9x + 3 Longrightarrow y = -9x + 6

Resposta

A equação da reta tangente é y = -9x + 6.

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