Em cada item, determine a equação da reta tangente:
à curva y=raiz4+x no ponto (5,3).

Passo 1

Estamos com a curva y=\sqrt{4+x} e queremos a reta tangente no ponto (5,3). O conteúdo aqui é derivadas de funções e aplicação da fórmula da reta tangente. Precisamos calcular y’ = dy/dx, avaliar em x=5 e depois usar a equação da reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a derivada, reescrevemos y como y=(4+x)^{1/2}. Usando a regra de potência, temos y’=\frac{1}{2}(4+x)^{-1/2}. Em termos de raiz fica:
y'=12raiz4+x

Passo 3

Agora avaliamos em x=5:
y'(5)=12raiz4+5=12raiz9=12cdot3=16

Passo 4

Com o coeficiente angular m=y’(5)=1/6 e o ponto (5,3), usamos a fórmula da reta tangente:
y- y0 = m(x- x0)
Substituindo y_0=3, x_0=5 e m=1/6:
y-3=16(x-5)

Passo 5

Por fim, isolamos y para achar a forma reduzida da reta:
y=16x-56+3=16x+136

Resposta

A equação da reta tangente é y=16x+136

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