Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
Resumindo o enunciado: a EDO é
Queremos a solução em série de potências centrada em zero, aplicando o método de Frobenius (aqui sem parte singular) para obter um desenvolvimento em torno de
Passo 2
Assumimos
Logo,
$$y’(x)=\sum_{n=1}^\infty n,a_nx^{n-1},\quad y’’(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}.
Passo 3
Substituindo no ODE e somando as séries:
Para anular a série para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero. Tratamos separadamente
e
.
Passo 4
Do caso
:
$$2\cdot1,a_2-1\cdot a_1=0\implies a_2=\tfrac{a_1}{2}.
Passo 5
Agora construímos as duas soluções fundamentais. 1) Tome
:
-
Assim
2) Tome
-
Assim
Resposta
A solução geral fica
onde os coeficientes obedecem à recorrência