Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
y^prime prime-y^prime+x^2 y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a EDO é
y''-y'+x^2y=0
Queremos a solução em série de potências centrada em zero, aplicando o método de Frobenius (aqui sem parte singular) para obter um desenvolvimento em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty anx^n
Logo,
$$y’(x)=\sum_{n=1}^\infty n,a_nx^{n-1},\quad y’’(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}.
y'(x)=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2 êy’’=\sum_{m=0}\infty(m+2)(m+1)a_{m+2}xm,\quad y’=\sum_{m=0}\infty(m+1)a_{m+1}xm,$$
x^m

Passo 3

Substituindo no ODE e somando as séries:
summ=0^inftyl[(m+2)(m+1)am+2-(m+1)am+1r]x^m +summ=2^infty am-2x^m=0
Para anular a série para todo x, cada coeficiente de x^m deve ser zero. Tratamos separadamente m=0,1 e m>=2.

Passo 4

Do caso m=0:
$$2\cdot1,a_2-1\cdot a_1=0\implies a_2=\tfrac{a_1}{2}.
2cdot1,a2-1cdot a1=0implies a2=tfraca12 3\cdot2,a_3-2\cdot a_2=0\implies a_3=\tfrac{a_2}{3}=\tfrac{a_1}{2\cdot3}.
m=1çãêa_{m+2}=\frac{(m+1)a_{m+1}-a_{m-2}}{(m+2)(m+1)},\quad m\ge2.$$

Passo 5

Agora construímos as duas soluções fundamentais. 1) Tome a0=1,;a1=0:
  • a2=0,;a3=0,;a4=3a3-a04cdot3=-tfrac112,;a5=4a4-a15cdot4=-tfrac160,dots
    Assim
y1(x)=1-x^412-x^560+cdots
2) Tome a0=0,;a1=1:
- a2=tfrac12,;a3=tfrac16,;a4=tfrac3a3-a04cdot3=tfrac124,;a5=tfrac4a4-a15cdot4=-tfrac124,dots
Assim
y2(x)=x+x^22+x^36+x^424-x^524+cdots

Resposta

A solução geral fica
y(x)=C1l(1-tfracx^412-tfracx^560+cdotsr)+C2l(x+tfracx^22+tfracx^36+tfracx^424-tfracx^524+cdotsr),
onde os coeficientes obedecem à recorrência
am+2=(m+1)am+1-am-2(m+2)(m+1), m>=2

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