Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é conver-
gente, usando o Teorema 12.2.6.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

Estamos lidando com a sequência an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n). O conteúdo aqui é convergência de sequências e vamos usar o Teorema 12.2.6, que afirma que toda sequência monotônica e limitada é convergente.

Passo 2

Primeiro, note que cada fator em an é positivo, logo an>0 para todo n. Assim, a sequência está limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Para mostrar que an é decrescente, calculamos o quociente an+1/an:
an+1an =1cdot3cdots(2n-1)(2n+1)2cdot4cdots(2n)(2n+2)1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n) =2n+12n+2

Passo 4

Como tfrac2n+12n+2<1, segue que an+1=ancdottfrac2n+12n+2. Logo an é decrescente.

Passo 5

Concluímos então, pelo Teorema 12.2.6 (sequência monotônica e limitada é convergente), que an converge.

Resposta

A sequência é convergente por ser monotônica decrescente e limitada.

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