Determine os possíveis valores de b para que \int_{0}^{b}\left(x^{3}-6 x\right) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de b tais que
\int_{0}^{b}\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx = 0.
Aqui o conteúdo envolve cálculo de integral indefinida (antiderivada) e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para escrever a integral definida em função de b.

Passo 2

Vamos achar uma antiderivada de f(x)=x^{3}-6x. Usando as regras \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) e \int k\,x\,dx = k\,x^{2}/2, obtemos
F(x)=\int\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4} - 3x^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{b}\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx = F(b) - F(0) = \Bigl(\frac{b^{4}}{4} - 3b^{2}\Bigr) - \Bigl(\frac{0^{4}}{4} - 3\cdot0^{2}\Bigr) = \frac{b^{4}}{4} - 3b^{2}.
Queremos que isso seja igual a zero, isto é,
\frac{b^{4}}{4} - 3b^{2} = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação
\frac{b^{4}}{4} - 3b^{2} = 0
colocamos em evidência b^{2}:
b^{2}\Bigl(\frac{b^{2}}{4} - 3\Bigr) = 0.
Isso gera duas possibilidades:
  1. b^{2}=0, de onde b=0.
  2. \dfrac{b^{2}}{4}-3=0, ou seja b^{2}=12, de onde b=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}.

Resposta

Os valores de b que satisfazem \int_{0}^{b}(x^{3}-6x)\,dx = 0 são
b = 0,\quad b = 2\sqrt{3},\quad b = -2\sqrt{3}.

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