Em cada item, determine k para que a função f seja contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
© f(x, y)=cc2^x y-1x y & , se (x, y) neq(0,0) k & , se (x, y)=(0,0) e P=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k que torna a função f contínua em P=(0,0). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) e igualar esse limite ao valor k em (0,0).

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0), precisamos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=k
Então nosso objetivo é calcular
lim(x,y)to(0,0)2^xy-1xy

Passo 3

Observe que, ao definir t=xy, quando (x,y)to(0,0) temos tto0. A expressão se reduz ao limite unidimensional
limtto02^t-1t
Sabemos pela definição da derivada da função 2^t em t=0 (ou pelo desenvolvimento em série) que
limtto02^t-1t=ln2

Passo 4

Como a condição de continuidade exige que esse limite seja igual a k, concluímos que
k=ln2

Resposta

k=ln2

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