Utilize limitações e estimativas para calcular os limites abaixo.
(f) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: , e . O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos utilizar técnicas de limitações e estimativas, que nos ajudam a encontrar limites em funções de várias variáveis mesmo quando o comportamento pode ser complicado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor absoluto da expressão para facilitar os cálculos. Temos:
Isso nos ajuda a lidar com possíveis valores negativos e simplificar a aplicação de limites.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar uma maneira de estimar essa expressão. Sabemos que:
|x y z| <= |x| cdot |y| cdot |z|
Isso é útil porque queremos relacionar essa quantidade com , que está no denominador.
Passo 4
Vamos utilizar uma desigualdade conhecida para produtos de variáveis em termos de somas de quadrados. Uma forma eficiente é observar que:
|x y z| <= x^2 + y^2 + z^23 cdot max|x|, |y|, |z|
Isso nos ajuda a vincular o produto com a soma .
Passo 5
Com essa desigualdade, temos:
Simplificando, percebemos que à medida que | x y zx^2+y^2+z^2 | <= |x| cdot |y| cdot |z|x^2+y^2+z^2 <= x^2 + y^2 + z^23 cdot max|x|, |y|, |z|x^2+y^2+z^2 se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, mas a taxa de decaimento faz com que toda a expressão tende a zero.
Passo 6
Portanto, aplicando o teorema do aperto (ou teorema do sanduíche), já que a expressão está limitada por algo que tende a zero, concluímos que: