Em cada item, diga se a função f é contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
(e) f(x, y)=cllx^2 y-3 x^2-4 x y+12 x+4 y-12x y-3 x-2 y+6 & , se (x, y) neq(2,3) 0 & , se (x, y)=(2,3) e P=(2,3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=
dfracx^2y-3x^2-4xy+12x+4y-12xy-3x-2y+6, & (x,y)neq(2,3) 0, & (x,y)=(2,3)
é contínua em P=(2,3). O conteúdo envolve continuidade de função de duas variáveis e, em particular, detecção de descontinuidade removível pelo cálculo de limite.

Passo 2

Para simplificar a expressão para (x,y)\neq(2,3), fatoramos numerador e denominador. Primeiro o numerador:
x^2y-3x^2-4xy+12x+4y-12 =x^2(y-3)-4x(y-3)+4(y-3) =(y-3)(x^2-4x+4) =(y-3)(x-2)^2
Agora o denominador:
xy-3x-2y+6 =x(y-3)-2(y-3) =(y-3)(x-2)

Passo 3

Cancelando o fator comum (y-3)(x-2) em numerador e denominador para (x,y)\neq(2,3), obtemos
f(x,y)=(y-3)(x-2)^2(y-3)(x-2)=x-2

Passo 4

Calculamos o limite quando (x,y)→(2,3):
lim(x,y)to(2,3)f(x,y)=lim(x,y)to(2,3)(x-2)=0
Como esse valor coincide com f(2,3)=0, concluímos que f é contínua em P=(2,3).

Resposta

A função f é contínua no ponto P=(2,3).

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