Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
© lim (x, y) (0,0) 3 x y4 x^2+5 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de f(x,y)=3xy4x^2+5y^2 quando (x,y)to(0,0) não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o fato de que, se o limite existir, ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0).

Passo 2

Para provar que o limite não existe, vamos usar a estratégia de comparar o valor de f ao longo de dois caminhos distintos que passam por (0,0). Se esses dois limites forem diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 3

Considere o caminho linear y=kx. Substituindo em f(x,y) temos:
f(x,kx)=3x,(kx)4x^2+5(kx)^2=3k,x^2x^2,(4+5k^2)=3k4+5k^2
Esse resultado mostra que o limite depende do parâmetro k. Agora basta escolher dois valores de k que gerem resultados distintos. Por exemplo,

Passo 4

  • Para k=1: limxto0f(x,x)=3cdot14+5cdot1^2=39=13.
  • Para k=2: limxto0f(x,2x)=3cdot24+5cdot2^2=624=14.

Passo 5

Como 1/3neq1/4, concluímos que o limite depende do caminho e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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