Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
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.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de
quando
não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o fato de que, se o limite existir, ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer caminho que leve a
.
Passo 2
Para provar que o limite não existe, vamos usar a estratégia de comparar o valor de
ao longo de dois caminhos distintos que passam por
. Se esses dois limites forem diferentes, concluímos que o limite geral não existe.
Passo 3
Considere o caminho linear
. Substituindo em
temos:
Esse resultado mostra que o limite depende do parâmetro
. Agora basta escolher dois valores de
que gerem resultados distintos. Por exemplo,
Passo 4
- Para
: . - Para
: .
Passo 5
Como
, concluímos que o limite depende do caminho e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.