Em cada item, determine k para que a função f seja contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
(b) f(x, y)=cllraiz[3]x y-1raizx y-1 & , se & (x, y) neq(1,1) k & , se & (x, y)=(1,1) e P=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k que faz f contínua em P=(1,1). O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis: precisamos que o limite de f(x,y) quando (x,y)→(1,1) exista e seja igual a k.

Passo 2

Como a expressão dentro da definição de f só depende de t=xy, podemos estudar a função de uma variável
h(t)=t^1/3-1t^1/2-1,
para t≠1 e ver o limite quando t→1.

Passo 3

Para avaliar lim_{t→1} h(t) temos uma indeterminação 0/0. Podemos usar a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a t.
Derivando, obtemos:
ddt(t^1/3-1)=13t^-2/3,
ddt(t^1/2-1)=12t^-1/2
Pelo l’Hôpital,
limt→1h(t)=limt→113t^-2/312t^-1/2=1/31/2=23

Passo 4

Para que f seja contínua em (1,1), precisamos definir k igual ao limite encontrado.

Resposta

k=2/3

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