Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(e)
.
(e)
Passo 1
A questão pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis
usando o método de trajetórias. Para verificar se ele existe, vamos comparar os valores obtidos por dois caminhos diferentes de aproximação ao ponto (0,0).
Passo 2
Em um primeiro caminho, escolhemos a reta y=0 e substituímos na expressão. Temos:
Portanto, ao longo de y=0 o limite é 0.
Passo 3
No segundo caminho, escolhemos uma reta genérica y=mx, com m constante. Substituindo y=mx:
Esse valor depende de m e, por exemplo, se m=1 obtemos
Passo 4
Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=x o limite é
, os resultados são diferentes. Logo, não há um único valor comum para todas as trajetórias, de modo que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.