Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(e) lim (x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2.

Passo 1

A questão pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) y^4 + 3x^2y^2 + 2yx^3(x^2+y^2)^2 usando o método de trajetórias. Para verificar se ele existe, vamos comparar os valores obtidos por dois caminhos diferentes de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Em um primeiro caminho, escolhemos a reta y=0 e substituímos na expressão. Temos:
0^4 + 3x^2cdot0^2 + 2cdot0cdot x^3(x^2+0^2)^2 =0x^4 =0
Portanto, ao longo de y=0 o limite é 0.

Passo 3

No segundo caminho, escolhemos uma reta genérica y=mx, com m constante. Substituindo y=mx:
(mx)^4 + 3x^2(mx)^2 + 2(mx)x^3l(x^2+(mx)^2r)^2 =x^4,(m^4+3m^2+2m)x^4,(1+m^2)^2 =m^4+3m^2+2m(1+m^2)^2
Esse valor depende de m e, por exemplo, se m=1 obtemos tfrac1+3+2(1+1)^2=tfrac64=tfrac32

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=x o limite é 3/2, os resultados são diferentes. Logo, não há um único valor comum para todas as trajetórias, de modo que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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