Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(f) lim (x, y) (0,0) sen(2 x+2 y)x+y.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis, um tópico fundamental em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, funções trigonométricas e como simplificar expressões envolvendo essas funções.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão no numerador é sin(2x + 2y)x + y = sin(2(x + y))x + y e no denominador temos . Vamos simplificar essa expressão. Note que pode ser fatorado como . Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo do limite. Vamos chamar sin(2t)t . Conforme se aproxima de , também se aproxima de . Substituindo, temos:

Passo 4

Lembramos da propriedade dos limites que diz:
limt to 0 sin(k t)t = k
onde limt to 0 sin(2t)t = 2 é uma constante. No nosso caso, . Aplicando essa propriedade:

Resposta

lim (x, y) (0,0) sin(2x + 2y)x + y = 2

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