Calcule, se existirem, os limites abaixo.
(f)
.
(f)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis, um tópico fundamental em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, funções trigonométricas e como simplificar expressões envolvendo essas funções.
Passo 2
Primeiro, observe que a expressão no numerador é
e no denominador temos
. Vamos simplificar essa expressão. Note que
pode ser fatorado como
. Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar o cálculo do limite. Vamos chamar
. Conforme
se aproxima de
,
também se aproxima de
. Substituindo, temos:
Passo 4
Lembramos da propriedade dos limites que diz:
onde
é uma constante. No nosso caso,
. Aplicando essa propriedade: