Em cada item, determine k para que a função f seja contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
(d) f(x, y, z)=cllx^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2 & , se & (x, y, z) neq(0,0,0) k & , se & (x, y, z)=(0,0,0) e P=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que a função f definida por partes seja contínua em P=(0,0,0). O conteúdo aqui é limite e continuidade de funções de três variáveis: para ser contínua em um ponto, o limite na aproximação deve existir e coincidir com o valor da função naquele ponto.

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0,0), precisamos ter
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=f(0,0,0)=k

Passo 3

Vamos calcular o limite L=lim(x,y,z)to(0,0,0)x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2. Definimos r=raizx^2+y^2+z^2. Então
x^2<= r^2, y^2<= r^2, z^2<= r^2,e x^2+y^2+z^2=r^2

Passo 4

Com isso temos a seguinte estimativa para o valor absoluto de f:
0<=|x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2|<=r^6r^2=r^4

Passo 5

Como rto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), segue que r^4to0 e, pelo teorema do confronto, o limite L=0.

Passo 6

Para que f seja contínua, precisamos de k=L, ou seja, k=0.

Resposta

k = 0

Exercícios relacionados