Em cada item, determine se as funções dadas são inversas uma da outra.
f(x)=x^{4}-4 \quad e \quad g(x)=\sqrt[4]{x}+4.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
\displaystyle f(x)=x^{4}-4 e \displaystyle g(x)=\sqrt[4]{x}+4
são inversas uma da outra. O conteúdo vai envolver verificar as composições f\circ g e g\circ f, além de checar domínios e contra-domínios.

Passo 2

Calculemos \displaystyle f\bigl(g(x)\bigr).
f\bigl(g(x)\bigr) \;=\;\bigl(g(x)\bigr)^{4}-4 \;=\;\bigl(\sqrt[4]{x}+4\bigr)^{4}-4.
Expandindo o binômio,
\bigl(\sqrt[4]{x}+4\bigr)^{4} = x \;+\;16\,x^{3/4}\;+\;96\,x^{1/2}\;+\;256\,x^{1/4}\;+\;256,
logo
f\bigl(g(x)\bigr) = x \;+\;16\,x^{3/4}\;+\;96\,x^{1/2}\;+\;256\,x^{1/4}\;+\;256\;-\;4 \neq x.
Portanto f\circ g não é a identidade.

Passo 3

Agora veja \displaystyle g\bigl(f(x)\bigr):
g\bigl(f(x)\bigr) = \sqrt[4]{\,f(x)\,}+4 = \sqrt[4]{\,x^{4}-4\,}+4.
Primeiro, x^{4}-4 deve ser \ge0, então g\circ f nem está definido para todos os x. Mesmo onde existe,
\sqrt[4]{x^{4}-4}+4 não volta a dar x (por exemplo, em x=2 \sqrt[4]{12}+4\approx5,86\neq2).

Resposta

As funções f e g não são inversas uma da outra.

Exercícios relacionados