Verifique que a função
não é invertível. Por que, então, a função do exercício anterior tem inversa?
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
não é invertível, e em seguida questiona por que a função do exercício anterior, que era basicamente o mesmo polinômio, admitia inversa. Vamos usar conceitos de injetividade e monotonicidade para responder.
Passo 2
Lembrando que uma função é invertível exatamente quando ela é bijetiva. Como polinômios reais são sempre sobrejetivos em imagem adequada (aqui de
em
), o ponto crucial é a injetividade:
é injetiva se, e somente se, valores distintos de
nunca produzem o mesmo
.
Passo 3
Mostramos que
não é injetiva em
encontrando dois
distintos com
. Por exemplo,
mas
. Logo
com
, e
não é injetiva nem invertível em todo
.
Passo 4
Contudo, no exercício anterior foi atribuída a mesma lei de formação, mas com domínio restrito a um intervalo onde
é monotonicamente crescente (ou decrescente). De fato,
é negativa para
e positiva para
. Se restringirmos o domínio, por exemplo, a
então
ali e
fica estritamente crescente. Função estritamente crescente é injetiva, daí bijetiva (sobre sua imagem) e, portanto, invertível.
Resposta
A função
não é invertível em
porque não é injetiva (
). Já no exercício anterior, o domínio foi restringido a um intervalo em que
é estritamente monotônica, garantindo injetividade e, assim, existência de inversa.