Verifique que a função f(x)=x^{2}-x, x \in \mathbb{R} não é invertível. Por que, então, a função do exercício anterior tem inversa?

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2 - x
não é invertível, e em seguida questiona por que a função do exercício anterior, que era basicamente o mesmo polinômio, admitia inversa. Vamos usar conceitos de injetividade e monotonicidade para responder.

Passo 2

Lembrando que uma função é invertível exatamente quando ela é bijetiva. Como polinômios reais são sempre sobrejetivos em imagem adequada (aqui de \mathbb{R} em \mathbb{R}), o ponto crucial é a injetividade: f é injetiva se, e somente se, valores distintos de x nunca produzem o mesmo f(x).

Passo 3

Mostramos que f não é injetiva em \mathbb{R} encontrando dois x distintos com f(x_1)=f(x_2). Por exemplo,
f(0)=0^2-0=0, \quad f(1)=1^2-1=0,
mas 0\neq1. Logo f(0)=f(1) com 0\ne1, e f não é injetiva nem invertível em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Contudo, no exercício anterior foi atribuída a mesma lei de formação, mas com domínio restrito a um intervalo onde f é monotonicamente crescente (ou decrescente). De fato,
f'(x)=2x-1
é negativa para x<\tfrac12 e positiva para x>\tfrac12. Se restringirmos o domínio, por exemplo, a
\bigl[\tfrac12,\infty\bigr),
então f'(x)\ge0 ali e f fica estritamente crescente. Função estritamente crescente é injetiva, daí bijetiva (sobre sua imagem) e, portanto, invertível.

Resposta

A função f(x)=x^2-x não é invertível em \mathbb{R} porque não é injetiva ( f(0)=f(1)). Já no exercício anterior, o domínio foi restringido a um intervalo em que f é estritamente monotônica, garantindo injetividade e, assim, existência de inversa.

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