EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
y^prime=x^2+x yx^2+y^2

Passo 1

A equação dada é uma EDO de primeira ordem homogênea: y′ = (x² + x y)/(x² + y²). Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição y = u x, em que u é função de x, e lembrar que dy/dx = u + x du/dx.

Passo 2

Substituindo y = u x, temos y′ = u + x du/dx. No numerador e denominador de f(x,y) = (x² + x y)/(x² + y²) fatoramos x²:
x² + x,yx² + y² = x²(1 + u)x²(1 + u²) = 1 + u1 + u²²²²²²²²
Logo a equação vira
u + xdudx = 1 + u1 + u²²

Passo 3

Isolando du/dx:
$$x\frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 + u²} - u = \frac{1 - u³}{1 + u²}.
xdudx = 1 + u1 + u² - u = 1 - u³1 + u² á\frac{1 + u²}{1 - u³},du = \frac{dx}{x}.$$

Passo 4

Precisamos então calcular
integral 1 + u²1 - u³,du²³
Fazendo frações parciais em 1 - u³ = (1 - u)(1 + u + u²), obtemos
1 + u²1 - u³ = 2/31 - u + -tfrac13u + tfrac131 + u + u²²³²
Integramos:
integral 1 + u²1 - u³,du = -tfrac23ln|u - 1| - tfrac16ln(1 + u + u²) + tfracraiz33arctanl(2u + 1raiz3r) + C1²³²
Do outro lado,
integral dxx = ln|x| + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e absorvendo constantes em C, obtemos a solução implícita:
-tfrac23lnl|u - 1r| - tfrac16lnl(1 + u + u²r) + tfracraiz33arctanl(2u + 1raiz3r) = ln|x| + C²
Finalmente voltamos à variável original usando u = y/x.

Passo 6

A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
-tfrac23lnl|yx - 1r| - tfrac16lnl(1 + yx + y²x²r) + tfracraiz33arctanl(2(y/x) + 1raiz3r) = ln|x| + C²²

Passo 7

Esse é o formato implícito da solução geral para a EDO dada.

Resposta

-\tfrac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{y}{x} - 1\Bigr| - \tfrac{1}{6}\ln\Bigl(1 + \frac{y}{x} + \frac{y{2}}{x{2}}\Bigr) + \tfrac{\sqrt{3}}{3}\arctan\Bigl(\frac{2\frac{y}{x} + 1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \ln|x| + C

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