EDOs de Ia Ordem: Resolva as EDOs
Passo 1
A equação dada é uma EDO de primeira ordem homogênea: y′ = (x² + x y)/(x² + y²). Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição y = u x, em que u é função de x, e lembrar que dy/dx = u + x du/dx.
Passo 2
Substituindo y = u x, temos y′ = u + x du/dx. No numerador e denominador de f(x,y) = (x² + x y)/(x² + y²) fatoramos x²:
Logo a equação vira
Passo 3
Isolando du/dx:
$$x\frac{du}{dx} = \frac{1 + u}{1 + u²} - u = \frac{1 - u³}{1 + u²}.
Passo 4
Precisamos então calcular
Fazendo frações parciais em 1 - u³ = (1 - u)(1 + u + u²), obtemos
Integramos:
Do outro lado,
Passo 5
Igualando as duas integrais e absorvendo constantes em C, obtemos a solução implícita:
Finalmente voltamos à variável original usando u = y/x.
Passo 6
A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
Passo 7
Esse é o formato implícito da solução geral para a EDO dada.
Resposta
-\tfrac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{y}{x} - 1\Bigr| - \tfrac{1}{6}\ln\Bigl(1 + \frac{y}{x} + \frac{y{2}}{x{2}}\Bigr) + \tfrac{\sqrt{3}}{3}\arctan\Bigl(\frac{2\frac{y}{x} + 1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \ln|x| + C