Seja varphi(x, y)=f(x^2+y^2) em que f é uma função real, de uma variável real e derivável até 2 ordem. Suponha nabla^2 varphi=0.
Determine uma f não constante para que se tenha nabla^2 varphi=0.

Passo 1

Estamos com a função φ(x,y)=f(x²+y²) e queremos que ela seja harmônica, ou seja, que satisfaça ∇²φ=0. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e resolver a ODE resultante para f.

Passo 2

Definimos ρ=x²+y² e escrevemos φ(x,y)=f(ρ). Primeiro calculamos as derivadas parciais de φ em relação a x e y usando a regra da cadeia. Temos
φx = f'(ρ)·2x, φxx = 2f'(ρ) + 4x²f''(ρ), φy = f'(ρ)·2y, φyy = 2f'(ρ) + 4y²f''(ρ) ²²

Passo 3

Somando φ_{xx}+φ_{yy} obtemos o Laplaciano:
∇²φ = φxx + φyy = 4f'(ρ) + 4(x²+y²)f''(ρ) = 4l(f'(ρ)+ρf''(ρ)r) ²²²

Passo 4

Para que ∇²φ=0 precisamos que
f'(ρ) + ρf''(ρ) = 0

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de ρf’(ρ), pois
ddρl(ρf'(ρ)r) = f'(ρ) + ρf''(ρ)

Passo 6

Logo devemos ter ρf’(ρ)=C, com C constante. Assim
f'(ρ) = Cρ

Passo 7

Integrando em ρ:
f(ρ) = C,lnρ + D,

Passo 8

sendo D outra constante de integração. Como C≠0 obtemos uma f não constante que faz φ harmônica.

Resposta

Por exemplo, podemos escolher
f(t)=ln t
que é não constante e garante ∇²φ=0. No caso geral,
f(t)=A\ln t+B, com A≠0.

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