Seja
em que
é uma função real, de uma variável real e derivável até 2 ordem. Suponha
.
Determine uma
não constante para que se tenha
.
Determine uma
Passo 1
Estamos com a função φ(x,y)=f(x²+y²) e queremos que ela seja harmônica, ou seja, que satisfaça ∇²φ=0. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e resolver a ODE resultante para f.
Passo 2
Definimos ρ=x²+y² e escrevemos φ(x,y)=f(ρ). Primeiro calculamos as derivadas parciais de φ em relação a x e y usando a regra da cadeia. Temos
Passo 3
Somando φ_{xx}+φ_{yy} obtemos o Laplaciano:
Passo 4
Para que ∇²φ=0 precisamos que
Passo 5
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de ρf’(ρ), pois
Passo 6
Logo devemos ter ρf’(ρ)=C, com C constante. Assim
Passo 7
Integrando em ρ:
Passo 8
sendo D outra constante de integração. Como C≠0 obtemos uma f não constante que faz φ harmônica.
Resposta
Por exemplo, podemos escolher
que é não constante e garante ∇²φ=0. No caso geral,
f(t)=A\ln t+B, com A≠0.