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tal que
e calcule
. (Sugestão: trações parciais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função transformada, chamada
, e precisa encontrar a função original
. Esse processo envolve a transformada de Fourier inversa, que é uma ferramenta da análise de sinais usada para encontrar uma função no domínio do tempo a partir de sua representação no domínio da frequência. Vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a transformação inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. Para isso, queremos escrever essa fração como uma soma de termos mais simples:
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
:
Resolvendo esse sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever a função transformada:
Passo 5
Para encontrar
, aplicamos a transformada de Fourier inversa. Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Além disso, o termo
representa um atraso no tempo na transformada inversa. Especificamente, ele se traduz em um deslocamento de
por 3 unidades:
onde
é a transformada inversa sem o atraso.
Passo 6
Aplicando isso à nossa função:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
(já que 2 > 0). Então:
Resposta
Portanto, o valor de
é
, o que aproximadamente dá
.