Encontre f(x) tal que
widehatf=e^-3 i omega(1+i omega)(2+i omega)
e calcule f(5). (Sugestão: trações parciais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função transformada, chamada widehatf(omega) = e^-3i omega(1+i omega)(2+i omega), e precisa encontrar a função original f(x). Esse processo envolve a transformada de Fourier inversa, que é uma ferramenta da análise de sinais usada para encontrar uma função no domínio do tempo a partir de sua representação no domínio da frequência. Vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a transformação inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão widehatf(omega) = e^-3i omega(1+i omega)(2+i omega) usando frações parciais. Para isso, queremos escrever essa fração como uma soma de termos mais simples:
1(1+i omega)(2+i omega) = A1+i omega + B2+i omega
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (1+i omega)(2+i omega) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(2 + i omega) + B(1 + i omega)
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de omega que simplificam a equação:
  • Para omega = -i:
    1 = A(2 + i(-i)) + B(1 + i(-i)) = A(2 + 1) + B(1 + 1) = 3A + 2B
  • Para omega = -2i:
    1 = A(2 + i(-2i)) + B(1 + i(-2i)) = A(2 + 2) + B(1 + 2) = 4A + 3B
Resolvendo esse sistema de equações:
3A + 2B = 1 4A + 3B = 1
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
9A + 6B = 3 8A + 6B = 2
Subtraindo as duas equações:
A = 1
Substituindo A = 1 na primeira equação:
3(1) + 2B = 1 Rightarrow 2B = -2 Rightarrow B = -1

Passo 4

Agora que temos A = 1 e B = -1, podemos reescrever a função transformada:
widehatf(omega) = e^-3i omega ( 11 + i omega - 12 + i omega )

Passo 5

Para encontrar f(x), aplicamos a transformada de Fourier inversa. Sabemos que:
F^-1 1a + i omega = e^-a x u(x)
onde u(x) é a função degrau de Heaviside.
Além disso, o termo e^-3i omega representa um atraso no tempo na transformada inversa. Especificamente, ele se traduz em um deslocamento de f(x) por 3 unidades:
f(x) = h(x - 3)
onde h(x) é a transformada inversa sem o atraso.

Passo 6

Aplicando isso à nossa função:
f(x) = e^-(1)(x - 3) u(x - 3) - e^-(2)(x - 3) u(x - 3)
Simplificando:
f(x) = ( e^-(x - 3) - e^-2(x - 3) ) u(x - 3)

Passo 7

Agora, vamos calcular f(5). Sabemos que u(5 - 3) = u(2) = 1 (já que 2 > 0). Então:
f(5) = e^-(5 - 3) - e^-2(5 - 3) = e^-2 - e^-4

Resposta

Portanto, o valor de f(5) é e^-2 - e^-4, o que aproximadamente dá 0,1353 - 0,0183 = 0,1170.

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