Em cada item, determine o gradiente da função f.
(h) f(x, y, z)=x+yz.

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=x+yz. O que precisamos aqui é calcular o gradiente, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z. O conteúdo envolvido é derivada parcial e, para a componente em z, podemos usar a regra da potência (ou quociente).

Passo 2

Para calcular dfracpartial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Podemos reescrever
f(x,y,z)=(x+y),z^-1
Então
partial fpartial x=partialpartial xl((x+y),z^-1r)=1cdot z^-1=1z

Passo 3

Para dfracpartial fpartial y, o raciocínio é análogo: x e z são constantes. Logo,
partial fpartial y=partialpartial yl((x+y),z^-1r)=1cdot z^-1=1z

Passo 4

Para dfracpartial fpartial z, tratamos x+y como constante e derivamos z^-1 usando a regra da potência:
ddzl(z^-1r)=-1,z^-2=-1z^2
Multiplicando pelo fator constante x+y, obtemos
partial fpartial z=(x+y)cdotl(-1z^2r)=-x+yz^2

Resposta

nabla f(x,y,z)=l(1z,,1z,,-x+yz^2r)

Exercícios relacionados