Calcule, usando a definição, a Transformada de Fourier de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente precisa calcular a Transformada de Fourier da função $ f(x) $ que é igual a $ e^{-x} $ quando $ x > 0 $ e zero quando $ x \leq 0 $. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier, que envolve fazer uma integral. Então, vamos precisar saber como montar essa integral e resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função $ f(x) $, a Transformada de Fourier $ \mathcal{F}{f(x)}(\omega) $ é dada por:
Aqui, $ \omega $ é a frequência angular e $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x) $ na integral. Sabemos que $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $ e $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $. Isso significa que a integral só vai contribuir para $ x > 0 $. Então, a Transformada de Fourier fica:
Passo 4
Vamos combinar os expoentes na expressão $ e^{-x} e^{-i \omega x} $. Usando a propriedade das potências com a mesma base, somamos os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-(1 + i \omega)x} dx $. Essa é uma integral de uma função exponencial com coeficiente complexo. A antiderivada de $ e^{-(1 + i \omega)x} $ em relação a $ x $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a $ \infty $:
Vamos calcular os limites:
- Quando $ x \to \infty $, $ e^{-(1 + i \omega)x} $ tende a zero porque a parte real do expoente, $ -1 $, faz a exponencial decair.
- Quando $ x = 0 $, $ e^{-(1 + i \omega) \cdot 0} = e^{0} = 1 $.
Portanto:
Resposta
A Transformada de Fourier de $ f(x) $ é: