y^prime=(yx)^2-yx, y(x)=1

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem
y' = l(yxr)^2 - yx,
com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é equações diferenciais homogêneas, e vamos precisar usar a substituição v = y/x para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Fazendo a substituição y = v x, a derivada se transforma como
y' = ddx(v x) = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na equação original:
v + xdvdx = v^2 - v
Reagrupando, obtemos
xdvdx = v^2 - 2v = v(v-2)

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dvv(v-2) = dxx
Para integrar, fazemos frações parciais:
1v(v-2) = -12v + 12(v-2)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral l(-tfrac12v + tfrac12(v-2)r)dv = integral dxx
Isso dá
-tfrac12ln|v| + tfrac12ln|v-2| = ln|x| + C

Passo 6

Reescrevendo o logaritmo:
lnl|v-2vr| = 2ln|x| + C1 = ln|C x^2|
Logo
v-2v = C x^2 Longrightarrow v = 21 - Cx^2

Passo 7

Voltando à variável y = v x, temos
y = xcdot 21 - Cx^2 = 2x1 - Cx^2

Passo 8

Impondo a condição y(1)=1:
1 = 2cdot11 - Ccdot1^2 implies 1 - C = 2 implies C = -1
Substituindo, obtemos a solução particular

Passo 9

Substituindo C = -1 em y:
y(x) = 2x1 + x^2

Resposta

y(x) = 2x1 + x^2

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