Passo 1
Temos uma equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é equações diferenciais homogêneas, e vamos precisar usar a substituição v = y/x para reduzir a equação a uma forma separável.
Passo 2
Fazendo a substituição y = v x, a derivada se transforma como
Passo 3
Substituindo na equação original:
Reagrupando, obtemos
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Para integrar, fazemos frações parciais:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Isso dá
Passo 6
Reescrevendo o logaritmo:
Logo
Passo 7
Voltando à variável y = v x, temos
Passo 8
Impondo a condição y(1)=1:
Substituindo, obtemos a solução particular
Passo 9
Substituindo C = -1 em y: