Em cada item, determine o gradiente da função
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Passo 1
A função é f(x,y)=x²e^{-y}. O conteúdo aqui é gradiente de funções de duas variáveis, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y. Vamos usar regras de derivação: derivada de potência, derivada de exponencial composta e, no caso, regra do produto.
Passo 2
Para encontrar ∂f/∂x, veja f como produto de x² e e^{-y}, mas y é tratado como constante. Então e^{-y} funciona como constante e
∂f/∂x = e^{-y} · ∂/∂x(x²) = e^{-y} · 2x = 2x e^{-y}.
∂f/∂x = e^{-y} · ∂/∂x(x²) = e^{-y} · 2x = 2x e^{-y}.
Passo 3
Para encontrar ∂f/∂y, trate x² como constante e use a derivada de e^{-y}. Sabendo que d/dy(e^{-y}) = -e^{-y},
∂f/∂y = x² · (−e^{-y}) = −x² e^{-y}.
∂f/∂y = x² · (−e^{-y}) = −x² e^{-y}.
Passo 4
O gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais que encontramos.
Resposta
∇f(x,y) = (2x e^{-y},;-x² e^{-y})