Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
© f(x, y)=x^2 e^-y, P=(3,0).

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=x{2}e{-y} no ponto P=(3,0). Estamos em cálculo de múltiplas variáveis, e para obter o gradiente precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, lembramos que para ∂f/∂x tratamos y como constante e para ∂f/∂y tratamos x como constante. Assim,
Para ∂f/∂x:
partial fpartial x=2x,e^-y
Para ∂f/∂y:
partial fpartial y=x^2ddy(e^-y)=x^2(-e^-y)=-x^2e^-y

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(3,0):
Para ∂f/∂x em (3,0):
partial fpartial x(3,0)=2cdot3,e^0=6
Para ∂f/∂y em (3,0):
partial fpartial y(3,0)=-3^2e^0=-9

Passo 4

Com essas componentes, o vetor gradiente em P é formado colocando ∂f/∂x e ∂f/∂y como coordenadas. Portanto:
nabla f(3,0)=(6,,-9)

Resposta

nabla f(3,0)=(6,-9)

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