Em cada item, determine se a integral converge ou não, e em caso afirmativo determine seu valor.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}}\,dx
determinando se ela converge e, em caso afirmativo, seu valor. Vamos usar conceitos de convergência de integrais em intervalos infinitos e a simetria de funções ímpares.

Passo 2

Verificamos convergência no infinito. Para x\to\pm\infty,
\frac{x}{(x^{2}+3)^{2}}\sim\frac{x}{x^{4}}=\frac1{x^{3}}.
Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx converge p=3>1, segue que \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+3)^{2}}\,dx converge. Não há singularidades em \mathbb{R}, pois x^{2}+3>0 sempre. Portanto a integral imprópria converge.

Passo 3

A função
f(x)=\frac{x}{(x^{2}+3)^{2}}
é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Em integrais simétricas sobre (-\infty,\infty) de funções ímpares, temos
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=0.

Resposta

A integral converge e vale 0.

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