Em cada item, determine para quais valores de p a integral é imprópria.
\int_{1}^{2} \frac{d x}{x-p}

Passo 1

O enunciado pede para a integral
\int_{1}^{2}\frac{dx}{x-p}
ser classificada como própria ou imprópria em função de p. O conteúdo aqui é o estudo de integral imprópria por singularidade do integrando: devemos identificar para quais valores de p a função
f(x)=\frac{1}{x-p}
fica não definida (denominador zero) em algum ponto de [1,2].

Passo 2

A condição de singularidade é
x-p=0\quad\Longrightarrow\quad x=p.
Para que essa raiz p esteja no intervalo de integração, é preciso
p\in [1,2].
Se p\in(1,2), a função tem polo dentro do intervalo. Se p=1 ou p=2, o polo fica exatamente em um dos limites de integração. Em qualquer caso com p\in[1,2], a integral é impropria. Para p\notin[1,2], o integrando é contínuo em [1,2] e a integral é própria.

Resposta

A integral é imprópria para
p\in[1,2].

Exercícios relacionados