Q. 4(3,2). Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, você pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) A função f é contínua para todo x in R^* e a<0<b. Se f(a) cdot f(b)<0, então f possui, necessariamente, algum zero em [a, b];
(b) lim x a^+ f(x)=N Leftrightarrow forall varepsilon>0, exists de<a>0 ; a<x<a+de<a Rightarrow|f(x)-N|<varepsilon;
(c) Se f(x)=1x, então os pontos do gráfico de f, cuja reta tangente tem coeficiente angular igual a -14, são (-2,-12) e (2, 12);
(d) lim x -infty f(x)=-infty Leftrightarrow forall N<0, exists n<0 tal que f(x)<N se x<n.

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre funções reais: (a) uso do Teorema do Valor Intermediário em intervalo que contém ponto onde f não é contínua; (b) definição de limite lateral pelo critério epsilon de<a; (c) encontrar pontos onde a derivada de f(x)=1/x vale -1/4; (d) formalizar limxto-inftyf(x)=-infty. Vamos usar: continuidade e Teorema do Valor Intermediário, definição de limite, derivação de 1/x e definição de limite no infinito.

Passo 2

(a) É falso porque o Teorema do Valor Intermediário exige continuidade de f em todo o intervalo fechado [a,b]. Aqui f não está definida nem é contínua em x=0. Contra-exemplo:
f(x)=1x, a=-1, b=1
Temos f(a)f(b)=(-1)cdot1<0, mas não existe cin[-1,1] tal que f(c)=0, pois 1/xneq0 para todo xneq0.

Passo 3

(b) A afirmação é verdadeira. Por definição,
limxto a^+f(x)=N
significa
forallvarepsilon>0, existsde<a>0 tal que a<x<a+de<a Rightarrow |f(x)-N|<varepsilon

Passo 4

(c) Calculamos a derivada de f(x)=1/x:
f'(x)=-1x^2
Queremos f'(x)=-tfrac14, ou seja
-1x^2=-14Longrightarrow x^2=4Longrightarrow x=pm2
Os pontos correspondentes no gráfico são
l(2,tfrac12r) e l(-2,-tfrac12r). Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) Por definição,
limxto -inftyf(x)=-infty
se e somente se
forall N<0, exists ninR tal que x<n Rightarrow f(x)<N
Podemos escolher tal n negativo (basta, se necessário, tomar n'=minn,0). Assim a versão que exige “ exists n<0” é equivalente. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.

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