Q.
. Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, você pode justificar exibindo um contra exemplo.
(a) A função
é contínua para todo
e
. Se
, então
possui, necessariamente, algum zero em
;
(b)
;
(c) Se
, então os pontos do gráfico de
, cuja reta tangente tem coeficiente angular igual a
, são
e
;
(d)
tal que
se
.
(a) A função
(b)
(c) Se
(d)
Passo 1
O enunciado pede para analisar quatro afirmações sobre funções reais: (a) uso do Teorema do Valor Intermediário em intervalo que contém ponto onde
não é contínua; (b) definição de limite lateral pelo critério
–
; (c) encontrar pontos onde a derivada de
vale
; (d) formalizar
. Vamos usar: continuidade e Teorema do Valor Intermediário, definição de limite, derivação de
e definição de limite no infinito.
Passo 2
(a) É falso porque o Teorema do Valor Intermediário exige continuidade de
em todo o intervalo fechado
. Aqui
não está definida nem é contínua em
. Contra-exemplo:
Temos
, mas não existe
tal que
, pois
para todo
.
Passo 3
(b) A afirmação é verdadeira. Por definição,
significa
Passo 4
(c) Calculamos a derivada de
:
Queremos
, ou seja
Os pontos correspondentes no gráfico são
e
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) Por definição,
se e somente se
Podemos escolher tal
negativo (basta, se necessário, tomar
). Assim a versão que exige “
” é equivalente. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.