(a) Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
(b) Completando os quadrados na resposta do item anterior, mostre que a solução geral é uma família de elipses. Faça um esboço destas elipses.
(c) Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial
0, dê a expressão da solução e seu intervalo máximo de definição.
(c) Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
(a) a solução geral em forma implícita;
(b) mostrar que, completando quadrados, essa família é de elipses e esboçar;
(c) impor e achar a solução explícita e seu intervalo máximo.
O conteúdo principal é o método de separação de variáveis e manipulação de constantes.
(a) a solução geral em forma implícita;
(b) mostrar que, completando quadrados, essa família é de elipses e esboçar;
(c) impor
O conteúdo principal é o método de separação de variáveis e manipulação de constantes.
Passo 2
Separamos as variáveis multiplicando em ambos os lados por
:
Agora integramos cada lado:
No lado esquerdo,
No direito,
Igualando e combinando constantes (
) fica
ou
Passo 3
Multiplicamos por 2 para eliminar fração:
com
. Esta é a solução geral em forma implícita.
Passo 4
Para reconhecer elipses, completamos quadrados:
Reagrupando,
onde
é constante arbitrária. Cada curva
é uma elipse centrada em
, com semi-eixo horizontal
e vertical
.
Esboço: elipses concêntricas em torno de , mais “esticadas” na direção
.
Esboço: elipses concêntricas em torno de
Passo 5
Impondo
, na forma
obtemos
Logo a solução implícita do PVI é
Para escrever
explicitamente,
e, como
, escolhemos o sinal negativo:
O argumento da raiz exige
isto é o intervalo máximo de definição
Resposta
(a) A solução geral implícita é
(b) Completando quadrados obtém-se
família de elipses centradas em
(semi-eixos
e
).
(c) Para
tem-se