(a) Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
y^prime=-x-22(y-1)
(b) Completando os quadrados na resposta do item anterior, mostre que a solução geral é uma família de elipses. Faça um esboço destas elipses.
(c) Para o problema de valor inicial que se obtém acrescentando a condição inicial y(2)= 0, dê a expressão da solução e seu intervalo máximo de definição.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = -x-22(y-1)
e pede:
(a) a solução geral em forma implícita;
(b) mostrar que, completando quadrados, essa família é de elipses e esboçar;
(c) impor y(2)=0 e achar a solução explícita e seu intervalo máximo.
O conteúdo principal é o método de separação de variáveis e manipulação de constantes.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando em ambos os lados por 2(y-1),dx:
2(y-1),dy = -(x-2),dx
Agora integramos cada lado:
integral 2(y-1),dy = integral -(x-2),dx
No lado esquerdo,
integral 2(y-1),dy = integral (2y - 2),dy = y^2 - 2y + C1
No direito,
integral -(x-2),dx = -integral x,dx + 2integral dx = -x^22 + 2x + C2
Igualando e combinando constantes ( C=C2 - C1) fica
y^2 - 2y = -x^22 + 2x + C
ou
y^2 - 2y + x^22 - 2x = C

Passo 3

Multiplicamos por 2 para eliminar fração:
2y^2 - 4y + x^2 - 4x = C'
com C'=2C. Esta é a solução geral em forma implícita.

Passo 4

Para reconhecer elipses, completamos quadrados:
2(y^2 - 2y) + (x^2 -4x) = C' Longrightarrow 2l((y-1)^2 -1r) + l((x-2)^2 -4r) = C'
Reagrupando,
(x-2)^2 + 2(y-1)^2 = C' + 6 = K,
onde K é constante arbitrária. Cada curva (x-2)^2 + 2(y-1)^2 = K é uma elipse centrada em (2,1), com semi-eixo horizontal raizK e vertical raizK/2.
Esboço: elipses concêntricas em torno de (2,1), mais “esticadas” na direção x.

Passo 5

Impondo y(2)=0, na forma (x-2)^2 + 2(y-1)^2 = K obtemos
(2-2)^2 + 2(0-1)^2 = 2 = K
Logo a solução implícita do PVI é
(x-2)^2 + 2(y-1)^2 = 2
Para escrever y explicitamente,
2(y-1)^2 = 2 - (x-2)^2 Longrightarrow (y-1)^2 = 1 - (x-2)^22
e, como y(2)=0<1, escolhemos o sinal negativo:
y = 1 - raiz1 - (x-2)^22
O argumento da raiz exige
1 - (x-2)^22 >= 0 Longrightarrow |x-2| <= raiz2,
isto é o intervalo máximo de definição
x in [,2-raiz2,,2+raiz2,]

Resposta

(a) A solução geral implícita é
2y^2 - 4y + x^2 - 4x = C'
(b) Completando quadrados obtém-se
(x-2)^2 + 2(y-1)^2 = K,
família de elipses centradas em (2,1) (semi-eixos raizK e raizK/2).
(c) Para y(2)=0 tem-se
y = 1 - raiz1 - (x-2)^22, xin [,2-raiz2,,2+raiz2,]

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