Em cada item, determine k para que a função f seja contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
(a) f(x, y)=cccy raizx-2 y-raizx+24-x+x raizy-4 raizy & , se & (x, y) neq(4,1) k & , se & (x, y)=(4,1) e P=(4,1).

Passo 1

Estamos trabalhando com a função por partes
f(x,y)=yraizx-2y-raizx+24-x+xraizy-4raizy,&(x,y)neq(4,1), k,&(x,y)=(4,1),
queremos escolher k para que f seja contínua em P=(4,1). Como a continuidade exige que
lim(x,y)to(4,1)f(x,y)=f(4,1)=k,
vamos calcular esse limite.

Passo 2

Observamos que, em (4,1), tanto numerador quanto denominador se anulam. Para fatorar de modo mais claro, definimos a=raizx e b=raizy. Então o numerador vira
yraizx-2y-raizx+2 = ya -2y -a +2 = (y-1)(a-2)
e o denominador
4-x + xraizy-4raizy = (4-x)+b(x-4) = -(x-4)+(x-4)b = (x-4)(b-1)

Passo 3

Com essas fatorações, a expressão original fica
yraizx-2y-raizx+24-x+xraizy-4raizy=(y-1)(a-2)(x-4)(b-1)
Reescrevendo y-1=(b-1)(b+1) e x-4=(a-2)(a+2), obtemos
(b-1)(b+1)(a-2)(a-2)(a+2)(b-1)=b+1a+2=raizy+1raizx+2

Passo 4

Agora é só avaliar o limite quando (x,y)to(4,1), isto é, raizxto2 e raizyto1. Logo
lim(x,y)to(4,1)f(x,y)=1+12+2=24=12
Para garantir a continuidade, escolhemos k=1/2.

Resposta

k = \frac12

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