Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(a)
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(a)
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos estudar o limite de duas variáveis
f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x2+y2}}
quando (x,y)→(0,0). O assunto é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos: se encontrarmos dois caminhos que dão valores distintos, concluímos que o limite não existe.
f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x2+y2}}
quando (x,y)→(0,0). O assunto é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos: se encontrarmos dois caminhos que dão valores distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Escolha do primeiro caminho (eixo x): tome y=0. Então
Para x→0^+ isso tende a 2, e para x→0^- tende a −2. Mesmo já mostrando falta de unicidade no próprio eixo x, focamos no ramo positivo x→0^+ e obtemos 2.
Passo 3
Escolha do segundo caminho (reta y=x): tome y=x. Então
Para x→0^+ isso tende a
, que é diferente de 2 obtido no primeiro caminho para x→0^+.
Passo 4
Conclusão do teste de caminhos: como ao aproximar (0,0) por y=0 com x→0^+ o limite é 2, e por y=x com x→0^+ o limite é 2/√2, os valores não coincidem. Pelo critério de caminhos, o limite não existe no ponto (0,0).
Resposta
O limite não existe.