Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(a) lim (x, y) (0,0) 2 xraizx^2+y^2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos estudar o limite de duas variáveis
f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{x2+y2}}
quando (x,y)→(0,0). O assunto é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos: se encontrarmos dois caminhos que dão valores distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Escolha do primeiro caminho (eixo x): tome y=0. Então
2xraizx^2+0^2=2x|x|=2,sgn(x)
Para x→0^+ isso tende a 2, e para x→0^- tende a −2. Mesmo já mostrando falta de unicidade no próprio eixo x, focamos no ramo positivo x→0^+ e obtemos 2.

Passo 3

Escolha do segundo caminho (reta y=x): tome y=x. Então
2xraizx^2+x^2=2x|x|raiz2=2raiz2,sgn(x)
Para x→0^+ isso tende a 2/raiz2, que é diferente de 2 obtido no primeiro caminho para x→0^+.

Passo 4

Conclusão do teste de caminhos: como ao aproximar (0,0) por y=0 com x→0^+ o limite é 2, e por y=x com x→0^+ o limite é 2/√2, os valores não coincidem. Pelo critério de caminhos, o limite não existe no ponto (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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