Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração constante
, velocidade inicial
e deslocamento inicial
, o deslocamento depois de um tempo
é
Passo 1
Este exercício trata de cinemática escalar: temos aceleração constante
, velocidade inicial
e posição inicial
, e queremos achar uma expressão fechada para o deslocamento
. Para isso vamos usar a relação entre aceleração, velocidade e posição, aplicando integrais e as condições iniciais.
Passo 2
Sabendo que aceleração é a taxa de variação da velocidade, escrevemos
. Como
é constante, podemos reorganizar e integrar:
Integrando dos instantes 0 a
O lado esquerdo vira
e o direito é
, então
Passo 3
Agora usamos que velocidade é a derivada da posição,
. Substituindo
e integrando:
Integramos dos instantes 0 a
No lado esquerdo obtemos
e no direito fazemos a soma de integrais:
Logo
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, vemos que não surge termo extra além de
.
Portanto obtemos a fórmula final do deslocamento para aceleração constante.
Portanto obtemos a fórmula final do deslocamento para aceleração constante.