Mostre que, para um movimento em uma reta com aceleração constante a, velocidade inicial v0 e deslocamento inicial s0, o deslocamento depois de um tempo t é
s=12 a t^2+v0 t+s0

Passo 1

Este exercício trata de cinemática escalar: temos aceleração constante a, velocidade inicial v0 e posição inicial s0, e queremos achar uma expressão fechada para o deslocamento s(t). Para isso vamos usar a relação entre aceleração, velocidade e posição, aplicando integrais e as condições iniciais.

Passo 2

Sabendo que aceleração é a taxa de variação da velocidade, escrevemos a = dvdt. Como a é constante, podemos reorganizar e integrar:
dv = a,dt
Integrando dos instantes 0 a t e das velocidades v(0) até v(t):
integralv(0)=v0^v(t) dv = integral0^t a,dt
O lado esquerdo vira v(t)-v0 e o direito é a t, então
v(t) - v0 = a t Longrightarrow v(t) = a t + v0.

Passo 3

Agora usamos que velocidade é a derivada da posição, v = dsdt. Substituindo v(t) e integrando:
ds = (a t + v0),dt
Integramos dos instantes 0 a t e das posições s(0)=s0 até s(t):
integrals0^s(t) ds = integral0^t (a t + v0),dt
No lado esquerdo obtemos s(t)-s0 e no direito fazemos a soma de integrais:
integral0^t a t,dt + integral0^t v0,dt = at^22 + v0 t
Logo
s(t) - s0 = 12 a t^2 + v0 t

Passo 4

Aplicando a condição inicial s(0)=s0, vemos que não surge termo extra além de s0.
Portanto obtemos a fórmula final do deslocamento para aceleração constante.

Resposta

s(t) = 12,a,t^2 + v0,t + s0

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