Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) f(x, y, z)=x^3 y z^2+3 x^2 y^2 z^2-5 y^3 z^3, P=(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para determinar a matriz Hessiana da função no ponto . A matriz Hessiana é basicamente uma matriz que contém todas as segundas derivadas parciais da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular todas essas derivadas e avaliá-las no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem de fx = partial fpartial x = 3x^2 y z^2 + 6x y^2 z^2 em relação a fy = partial fpartial y = x^3 z^2 + 6x^2 y z^2 - 15 y^2 z^3 , fz = partial fpartial z = 2x^3 y z + 6x^2 y^2 z - 15 y^3 z^2 e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as segundas derivadas parciais, ou seja, as derivadas de fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x y z^2 , fxy = fyx = partial^2 fpartial y partial x = 3x^2 z^2 + 6y z^2 e fxz = fzx = partial^2 fpartial z partial x = 6x^2 y z + 12x y^2 z em relação a fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6x^2 z^2 - 30 y z^3 , fyz = fzy = partial^2 fpartial z partial y = 6x^2 y z - 45 y^2 z^2 e fzz = partial^2 fpartial z^2 = 2x^3 y + 6x^2 y^2 - 30 y^3 z .

Passo 4

Vamos agora avaliar todas essas segundas derivadas no ponto fxx(1,0,-1) = 6(1)(0)(-1)^2 = 0 :
fxy(1,0,-1) = 3(1)^2 (-1)^2 + 6(0)(-1)^2 = 3 + 0 = 3
fxz(1,0,-1) = 6(1)^2 (0)(-1) + 12(1)(0)^2 (-1) = 0 + 0 = 0
fyy(1,0,-1) = 6(1)^2 (-1)^2 - 30 (0)(-1)^3 = 6 - 0 = 6
fyz(1,0,-1) = 6(1)^2 (0)(-1) - 45 (0)^2 (-1)^2 = 0 - 0 = 0
fzz(1,0,-1) = 2(1)^3 (0) + 6(1)^2 (0)^2 - 30 (0)^3 (-1) = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

A matriz Hessiana de H = 0 & 3 & 0 3 & 6 & 0 0 & 0 & 0 no ponto é:

Exercícios relacionados