Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando a região. Indique qual seria a melhor escolha e resolva esta integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. O que precisamos fazer é expressar essa integral nas duas possíveis ordens de integração, desenhar a região onde vamos integrar, escolher qual ordem é mais fácil de resolver e, por fim, calcular o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até 1. Se a gente desenhar isso no plano
, a região
está abaixo da reta
e acima da reta
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral na outra ordem de integração, ou seja, integrando em relação a
primeiro e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Para
fixo entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Então, a integral na nova ordem fica:
Passo 4
Vamos escolher a melhor ordem para resolver a integral. Olhando para a função
, vemos que integrar em relação a
é mais simples porque
é tratada como uma constante quando integramos em relação a
. Isso facilita bastante nossos cálculos.
Passo 5
Vamos calcular a integral na ordem que escolhemos:
Integrando com respeito a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Resposta
O valor da integral é
.