Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração, representando a região. Indique qual seria a melhor escolha e resolva esta integral.
integral0^1 integraly^1 e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. O que precisamos fazer é expressar essa integral nas duas possíveis ordens de integração, desenhar a região onde vamos integrar, escolher qual ordem é mais fácil de resolver e, por fim, calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
integral0^1 integraly^1 e^x^2 , dx , dy
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até 1. Se a gente desenhar isso no plano , a região está abaixo da reta e acima da reta , entre e .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral na outra ordem de integração, ou seja, integrando em relação a integral0^1 integral0^x e^x^2 , dy , dx primeiro e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração.
Para fixo entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, a integral na nova ordem fica:

Passo 4

Vamos escolher a melhor ordem para resolver a integral. Olhando para a função , vemos que integrar em relação a é mais simples porque é tratada como uma constante quando integramos em relação a . Isso facilita bastante nossos cálculos.

Passo 5

Vamos calcular a integral na ordem que escolhemos:
integral0^1 integral0^x e^x^2 , dy , dx
Integrando com respeito a integral0^1 e^x^2 cdot (x - 0) , dx = integral0^1 x e^x^2 , dx :
12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Substituindo na integral:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados