Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
© f(x, y)=e^x cos y, x(u, v)=u v, y(u, v)=raizu^2+v^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função onde e também são funções de e , especificamente e . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais precisamente a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u depende de e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a é:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. Derivadas de em relação a e :
    • (derivando em relação a )
    • (derivando em relação a )
  2. Derivadas de e em relação a e :
    • (derivando em relação a )
    • (derivando em relação a )
    • (derivada da raiz)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u = e^x cos y cdot v + (-e^x sin y) cdot uraizu^2 + v^2 e partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v = e^x cos y cdot u + (-e^x sin y) cdot vraizu^2 + v^2 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial u = e^x cos y cdot v - e^x sin y cdot uraizu^2 + v^2
partial fpartial v = e^x cos y cdot u - e^x sin y cdot vraizu^2 + v^2

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