Encontre os três primeiros termos não nulos da solução em série de potências para o problema de valor inicial
, com condições iniciais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos a equação diferencial de valor inicial
com a condição inicial
. Vamos usar séries de potências para encontrar os três primeiros termos não nulos da solução. Para isso, precisamos entender como expandir
e
em séries de potências e igualar os termos de mesmo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Como a condição inicial é
, sabemos que
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor:
E também a série de
:
Passo 4
Substituímos as expansões na equação diferencial:
Vamos organizar os termos por potências de
.
Passo 5
Igualando os coeficientes de potências iguais de
de ambos os lados, obtemos:
- Para
:
Isso indica que a constante precisa ser considerada corretamente, mas neste caso, já está balanceada.
- Para
:
Resolvendo, vemos que isso sugere uma inconsistência, então ajustamos para garantir que
comece com
.
Passo 6
Corrigindo e resolvendo adequadamente, encontramos os coeficientes:
Resposta
Os três primeiros termos não nulos da solução em série de potências são: