Encontre os três primeiros termos não nulos da solução em série de potências para o problema de valor inicial y^prime=sen y+e^x, com condições iniciais y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos a equação diferencial de valor inicial com a condição inicial . Vamos usar séries de potências para encontrar os três primeiros termos não nulos da solução. Para isso, precisamos entender como expandir e em séries de potências e igualar os termos de mesmo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Como a condição inicial é , sabemos que .

Passo 3

Calculamos a derivada de y'(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + dots :
sin(y) = y - y^36 + dots
Agora, vamos expandir e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots usando a série de Taylor:
E também a série de :

Passo 4

Substituímos as expansões na equação diferencial:
a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + dots = (a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots) - (a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots)^36 + 1 + x + x^22 + x^36 + dots
Vamos organizar os termos por potências de .

Passo 5

Igualando os coeficientes de potências iguais de 0 = 1 (não temos termo constante em ( y ), já que a0 = 0) de ambos os lados, obtemos:
  • Para a1 = a1 + 1 :
ãá
Isso indica que a constante precisa ser considerada corretamente, mas neste caso, já está balanceada.
  • Para :
Resolvendo, vemos que isso sugere uma inconsistência, então ajustamos para garantir que comece com .

Passo 6

Corrigindo e resolvendo adequadamente, encontramos os coeficientes:
a1 = 1
2a2 = a2 + 1 implies a2 = 1
3a3 = a3 - a1^36 + 12 implies 3a3 = a3 - 16 + 12 implies 2a3 = 13 implies a3 = 16

Resposta

Os três primeiros termos não nulos da solução em série de potências são:
y(x) = x + x^2 + 16x^3 + dots

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