Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
a_{n}=\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3}

Passo 1

O enunciado define a sequência \,a_{n}=\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-3} e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite. O conteúdo principal aqui é estudar o limite de uma diferença de raízes quando n\to\infty; uma técnica eficiente é racionalizar essa diferença.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos por \sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}. Assim,
a_{n} =\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-3} =\frac{\bigl(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-3}\bigr)\bigl(\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}\bigr)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.

Passo 3

No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(\sqrt{2n+3})^{2} - (\sqrt{2n-3})^{2} =(2n+3)-(2n-3)=6.
Portanto
a_{n}=\frac{6}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}.

Passo 4

Quando n\to\infty, tanto \sqrt{2n+3} quanto \sqrt{2n-3} crescem como \sqrt{2n}, e sua soma tende a +\infty. Logo o quociente
\frac{6}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-3}}
tende a 0. Portanto \,a_{n}\to0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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