Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
\left(1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots\right)

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
\bigl(1,\,-\tfrac12,\,\tfrac13,\,-\tfrac14,\,\tfrac15,\dots\bigr)
e pede:
– o termo geral a_n;
– o termo de ordem n+1;
– verificar se a sequência converge e, em caso afirmativo, apresentar o limite.

Passo 2

Observamos que o módulo de cada termo é 1/n e o sinal alterna, sendo positivo em n=1 e negativo em n=2. Logo o termo geral é
a_n = \frac{(-1)^{\,n-1}}{n}.

Passo 3

Para obter o termo de ordem n+1, substituímos n por n+1 em a_n:
a_{n+1} = \frac{(-1)^{\,(n+1)-1}}{n+1} = \frac{(-1)^{\,n}}{n+1}.

Passo 4

Analisamos o limite de a_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_n \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}.
Como \bigl|(-1)^{\,n-1}\bigr|=1 e 1/n\to0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Portanto a sequência converge.

Resposta

O termo geral é \displaystyle a_n = \frac{(-1)^{\,n-1}}{n}.
O termo de ordem n+1 é \displaystyle a_{n+1} = \frac{(-1)^{\,n}}{n+1}.
A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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