Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função
na região
. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito nos exercícios P1. e P3.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função
na região fechada
. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas; vamos precisar achar pontos críticos no interior (onde o gradiente é zero) e analisar o comportamento no contorno (onde
).
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
. No interior de
, igualamos
, o que dá o ponto crítico
. Avaliando em
, temos
.
Passo 3
Na fronteira
, usamos a parametrização
. Substituindo em
, obtemos:
Passo 4
Como
varia entre
e
, concluímos que no contorno o valor máximo é
e o mínimo é
. Comparando com o interior (onde
), vemos que os extremos absolutos em
ocorrem na fronteira.
Resposta
Máximo absoluto:
em
e
. Mínimo absoluto:
em
e
.