Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito nos exercícios P1. e P3.
f(x, y)=x^2-y^2, R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função f(x,y)=x^2 - y^2 na região fechada R=(x,y)in R^2mid x^2+y^2<=1. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em regiões fechadas; vamos precisar achar pontos críticos no interior (onde o gradiente é zero) e analisar o comportamento no contorno (onde x^2+y^2=1).

Passo 2

Calculamos o gradiente de f: nabla f(x,y) = (2x,,-2y). No interior de R, igualamos nabla f=0, o que dá o ponto crítico (0,0). Avaliando em (0,0), temos f(0,0)=0.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1, usamos a parametrização x=cos t,;y=sin t. Substituindo em f, obtemos:
f(cos t,sin t)=cos^2 t - sin^2 t = cos(2t)

Passo 4

Como cos(2t) varia entre -1 e 1, concluímos que no contorno o valor máximo é 1 e o mínimo é -1. Comparando com o interior (onde f(0,0)=0), vemos que os extremos absolutos em R ocorrem na fronteira.

Resposta

Máximo absoluto: 1 em (1,0) e (-1,0). Mínimo absoluto: -1 em (0,1) e (0,-1).

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