Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=(1-x)^2 e^-|x|.

Passo 1

Vamos resumir: queremos calcular a transformada de Fourier de f(x)=(1-x)^2 e^-|x|. O conteúdo principal é transformada de Fourier e propriedades operacionais (multiplicação por x vira derivada em frequência). Vamos usar a transformada conhecida de e^-a|x| e as regras de derivação.

Passo 2

Definimos g(x)=e^-|x|. Sabemos que, para a>0,
$$
No nosso caso No nosso caso $a=1$, então , então

Passo 3

A propriedade que vamos usar é:
  • Multiplicar por x no tempo corresponde a idfracddomega em frequência.
  • Multiplicar por x^2 no tempo corresponde a -dfracd^2domega^2 em frequência.

Passo 4

Escrevendo f(x)=(1-x)^2 g(x)=g(x) -2xg(x)+x^2g(x), aplicamos as propriedades para obter
F(omega)=G(omega) -2,idGdomega -d^2Gdomega^2

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de G(omega)=2(1+omega^2)^-1:
dGdomega=-4omega(1+omega^2)^2,d^2Gdomega^2=43omega^2-1(1+omega^2)^3

Passo 6

Substituindo em F(omega)=G -2i,G' -G'', obtemos
F(omega)=21+omega^2+8i,omega(1+omega^2)^2-4(3omega^2-1)(1+omega^2)^3

Resposta

F(omega)= rac21+omega^2 + rac8i,omega(1+omega^2)^2 - rac4(3omega^2-1)(1+omega^2)^3

Exercícios relacionados