Em cada item, utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função f sob a restrição imposta.
f(x, y)=e^-x y sob a restrição x^2+4 y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede pra usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar extremos absolutos de f(x,y)=e^-xy sujeito à restrição x^2+4y^2=1. O tema aqui é otimização com restrições e vamos precisar conhecer o lagrangiano e as condições nabla f=lambdanabla g onde g(x,y)=x^2+4y^2-1.

Passo 2

Montamos o lagrangiano e escrevemos as condições de primeira ordem. Definimos
L(x,y,lambda)=e^-xy-lambdal(x^2+4y^2-1r)
As derivadas parciais dão:
partial Lpartial x=-y e^-xy-2lambda x=0, partial Lpartial y=-x e^-xy-8lambda y=0, x^2+4y^2=1

Passo 3

Checamos primeiro se dá pra ter x=0 ou y=0. Em ambos os casos aparece contradição com a restrição ou as equações, então concluímos que xneq0 e yneq0.

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar lambda e e^-xy obtemos
yx=x4yRightarrow x^2=4y^2

Passo 5

Substituindo em x^2+4y^2=1 vem
4y^2+4y^2=1Rightarrow y^2=18, x^2=12

Passo 6

Assim os pontos candidatos são
l(pmtfrac1raiz2,pmtfrac12raiz2r),

Passo 7

Lisando as quatro combinações de sinais. Em cada uma calculamos
f(x,y)=e^-xy

Passo 8

Para (x,y)=(1/raiz2,1/(2raiz2)) e (-1/raiz2,-1/(2raiz2)) vale xy=1/4 e f=e^-1/4.
Para (x,y)=(1/raiz2,-1/(2raiz2)) e (-1/raiz2,1/(2raiz2)) vale xy=-1/4 e f=e^1/4.

Passo 9

Comparando, o maior valor é e^1/4 e o menor é e^-1/4.

Resposta

O valor mínimo absoluto de f é e^-1/4 nos pontos l(1/raiz2,,1/(2raiz2)r) e l(-1/raiz2,,-1/(2raiz2)r), e o valor máximo absoluto é e^1/4 nos pontos l(1/raiz2,,-1/(2raiz2)r) e l(-1/raiz2,,1/(2raiz2)r).

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