Em cada item, utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função
sob a restrição imposta.
sob a restrição
.
Passo 1
O enunciado pede pra usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar extremos absolutos de
sujeito à restrição
. O tema aqui é otimização com restrições e vamos precisar conhecer o lagrangiano e as condições
onde
.
Passo 2
Montamos o lagrangiano e escrevemos as condições de primeira ordem. Definimos
As derivadas parciais dão:
Passo 3
Checamos primeiro se dá pra ter
ou
. Em ambos os casos aparece contradição com a restrição ou as equações, então concluímos que
e
.
Passo 4
Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar
e
obtemos
Passo 5
Substituindo em
vem
Passo 6
Assim os pontos candidatos são
Passo 7
Lisando as quatro combinações de sinais. Em cada uma calculamos
Passo 8
Para
e
vale
e
.
Para e
vale
e
.
Para
Passo 9
Comparando, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
O valor mínimo absoluto de
é
nos pontos
e
, e o valor máximo absoluto é
nos pontos
e
.