Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=clx e^-x & se x>0, 0 & se x<0

Passo 1

Temos a função f(x)=x e^{−x} para x>0 e zero para x<0, e queremos calcular sua transformada de Fourier F(ω)=ℱ{f(x)} usando propriedades operacionais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a transformada de Fourier de e^{−a x}u(x) (com u(x) função degrau) é 1/(a+ jω). No nosso caso a=1, logo ℱ{e^{−x}u(x)}=1/(1+ jω).

Passo 3

Em seguida, aplicamos a propriedade de multiplicação por x no tempo: ℱ{x·g(x)}= j·d/dω[G(ω)], onde G(ω)=ℱ{g(x)}. Aqui g(x)=e^{−x}u(x) e G(ω)=1/(1+ jω).

Passo 4

Calculamos a derivada de G(ω): d/dω[1/(1+ jω)] = −j/(1+ jω)^2. Multiplicando por j obtemos F(ω)= j·(−j)/(1+ jω)^2 = 1/(1+ jω)^2.

Resposta

\displaystyle F(\omega)=\frac{1}{\bigl(1+\mathrm{j},\omega\bigr)^{2}}

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