Em cada item, determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=(y^2 z+2 x z^2, 2 x y z, x y^2+2 x^2 z).

Passo 1

O enunciado pede verificar se o campo
vec F(x,y,z)=l(y^2z+2xz^2,;2xyz,;xy^2+2x^2zr)
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar f tal que nabla f=vec F. Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo em domínio simplesmente conexo e depois integrar para achar f.

Passo 2

Calculemos nablatimesvec F. Denotando vec F=(P,Q,R):
P=y^2z+2xz^2, Q=2xyz, R=xy^2+2x^2z
As componentes do rotacional são iguais se e somente se
partial Ppartial y=2yz, partial Qpartial x=2yz,
partial Ppartial z=y^2+4xz, partial Rpartial x=y^2+4xz,
partial Qpartial z=2xy, partial Rpartial y=2xy
Como em todos os casos as derivadas conferem, temos nablatimesvec F=0.

Passo 3

O domínio é todo R^3, que é simplesmente conexo. Logo, pelo teorema, vec F é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos P=partial fpartial x=y^2z+2xz^2 em x:
f(x,y,z)=integral (y^2z+2xz^2),dx = x,y^2z + x^2z^2 + h(y,z),
onde h é função a determinar.

Passo 5

Impondo partial fpartial y=Q=2xyz obtemos partial hpartial y=0, ou seja, h=h(z).
Em seguida, exigindo partial fpartial z=R=xy^2+2x^2z chega-se a dhdz=0.
Portanto h é constante.

Resposta

vec F é conservativo, e um potencial é
f(x,y,z)=x,y^2z + x^2 z^2 + C

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