Em cada item, determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado pede verificar se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar tal que
. Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo em domínio simplesmente conexo e depois integrar para achar
.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função escalar
Passo 2
Calculemos
. Denotando
:
As componentes do rotacional são iguais se e somente se
Como em todos os casos as derivadas conferem, temos
.
Passo 3
O domínio é todo
, que é simplesmente conexo. Logo, pelo teorema,
é conservativo.
Passo 4
Para achar o potencial
, integramos
em
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Impondo
obtemos
, ou seja,
.
Em seguida, exigindo chega-se a
.
Portanto é constante.
Em seguida, exigindo
Portanto