Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se e , então .
Passo 1
O enunciado pergunta se de com segue que para todo . O conteúdo é convergência de sequência real, e vamos usar a definição de limite e um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 2
Lembre que dizer significa que, para todo , existe tal que, para ,
Daqui podemos garantir que, escolhendo , para tem-se
ou seja, a partir de algum índice , todos os termos são positivos. Porém nada garante que os termos iniciais (com ) também sejam positivos.
Passo 3
Para construir um contra-exemplo, fixe e defina
Vamos verificar que e que nem todos os são positivos.
Passo 4
Calcule a diferença
Como 2Lnto 0 quando ntoinfty, segue que anto L.
Passo 5
Agora observe o primeiro termo:
a1 = L - 2L1 = -L < 0
Logo, apesar de anto L>0, temos a1<0.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para an=L-tfrac2Ln temos anto L>0 mas a1=-L<0, ou seja, nem todo termo da sequência é positivo.