Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se an L e L>0, então an>0, forall n in N.

Passo 1

O enunciado pergunta se de ;anto L com L>0 segue que an>0 para todo n. O conteúdo é convergência de sequência real, e vamos usar a definição de limite e um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 2

Lembre que dizer limntoinftyan=L significa que, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para n>= N,
|an - L|<varepsilon
Daqui podemos garantir que, escolhendo varepsilon=L, para n>= N tem-se
an > L - varepsilon = 0,
ou seja, a partir de algum índice N, todos os termos são positivos. Porém nada garante que os termos iniciais (com n<N) também sejam positivos.

Passo 3

Para construir um contra-exemplo, fixe L>0 e defina
an = L - 2Ln
Vamos verificar que anto L e que nem todos os an são positivos.

Passo 4

Calcule a diferença
|an - L| = |L - 2Ln - L| = 2Ln
Como 2Lnto 0 quando ntoinfty, segue que anto L.

Passo 5

Agora observe o primeiro termo:
a1 = L - 2L1 = -L < 0
Logo, apesar de anto L>0, temos a1<0.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para an=L-tfrac2Ln temos anto L>0 mas a1=-L<0, ou seja, nem todo termo da sequência é positivo.

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