Esboce o gráfico da função e determine o conjunto
f(x)=cccx+9 & se & x<-3 -2 x & se & |x| <= 3 -5 & se & x>3.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= x+9, & x< -3, -2x, & |x|<= 3, -5, & x>3,
e pede (a) o esboço do gráfico e (b) o conjunto imagem de f. Vamos usar interpretação de retas no plano e analisar cada região de x.

Passo 2

Para x< -3 temos
f(x)=x+9,
que é uma reta de inclinação 1 e intercepto 9. Quando xto -infty, f(x)to -infty e, ao aproximar de -3 pela esquerda,
limxto -3^-(x+9)=6
No gráfico, desenhamos o ramo desde o infinito até perto de (-3,6) com círculo aberto em l(-3,6r).

Passo 3

Para |x|<= 3, isto é -3<= x<= 3, vale
f(x)=-2x
É uma reta de inclinação -2. Em x=-3 temos f(-3)=6 e em x=3 temos f(3)=-6. Como o intervalo é fechado, ambos os pontos l(-3,6r) e l(3,-6r) são marcados com círculos fechados.

Passo 4

Para x>3 vale
f(x)=-5,
uma reta horizontal. Ao aproximar de 3 pela direita, f(x) vale sempre -5, mas em x=3 não pertence a este ramo (já está na parte anterior), então marcamos um círculo aberto em l(3,-5r) e seguimos a linha para a direita indefinidamente.

Passo 5

Unindo tudo:
  • Reta x+9 para x< -3 com círculo aberto em (-3,6).
  • Reta -2x de -3 a 3 com círculos fechados em (-3,6) e (3,-6).
  • Reta horizontal y=-5 para x>3 com círculo aberto em (3,-5).
Esse é o esboço do gráfico.

Passo 6

Agora o conjunto imagem.
  1. No ramo x< -3, x+9 varia de -infty até 6, sem atingir 6, ou seja (-infty,6).
  2. No ramo -3<= x<= 3, -2x varia de 6 até -6, atingindo ambas as bordas, ou seja [-6,6].
  3. No ramo x>3, o valor é -5, já contido em [-6,6].
Fazendo a união dessas partes, obtemos
Im(f)=(-infty,6],

Resposta

O domínio é R e o conjunto imagem é (-infty,6].

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