Esboce o gráfico da função e determine o conjunto .
Passo 1
O enunciado define uma função por partes
f(x)= x+9, & x< -3, -2x, & |x|<= 3, -5, & x>3,
e pede (a) o esboço do gráfico e (b) o conjunto imagem de f. Vamos usar interpretação de retas no plano e analisar cada região de x.
Passo 2
Para x< -3 temos
f(x)=x+9,
que é uma reta de inclinação 1 e intercepto 9. Quando xto -infty, f(x)to -infty e, ao aproximar de -3 pela esquerda,
limxto -3^-(x+9)=6
No gráfico, desenhamos o ramo desde o infinito até perto de (-3,6) com círculo aberto em l(-3,6r).
Passo 3
Para |x|<= 3, isto é -3<= x<= 3, vale
f(x)=-2x
É uma reta de inclinação -2. Em x=-3 temos f(-3)=6 e em x=3 temos f(3)=-6. Como o intervalo é fechado, ambos os pontos l(-3,6r) e l(3,-6r) são marcados com círculos fechados.
Passo 4
Para x>3 vale
f(x)=-5,
uma reta horizontal. Ao aproximar de 3 pela direita, f(x) vale sempre -5, mas em x=3 não pertence a este ramo (já está na parte anterior), então marcamos um círculo aberto em l(3,-5r) e seguimos a linha para a direita indefinidamente.
Passo 5
Unindo tudo:
Reta x+9 para x< -3 com círculo aberto em (-3,6).
Reta -2x de -3 a 3 com círculos fechados em (-3,6) e (3,-6).
Reta horizontal y=-5 para x>3 com círculo aberto em (3,-5).
Esse é o esboço do gráfico.
Passo 6
Agora o conjunto imagem.
No ramo x< -3, x+9 varia de -infty até 6, sem atingir 6, ou seja (-infty,6).
No ramo -3<= x<= 3, -2x varia de 6 até -6, atingindo ambas as bordas, ou seja [-6,6].