Em cada item, determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar
tal que
.
).
).
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
O conteúdo é identificação de campo conservativo em
e determinação de um potencial escalar
tal que
.
Passo 2
Para um campo vetorial ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, basta verificar se
Calculamos
Como são iguais em todo
, que é simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
e igualando a
, temos
Integrando
, obtemos
. Podemos escolher
sem alterar o gradiente.
Resposta
O campo
é conservativo e um potencial escalar é