Em cada item, determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar tal que .
).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y) = y,e^x, Q(x,y) = e^x + e^y
O conteúdo é identificação de campo conservativo em R^2 e determinação de um potencial escalar f tal que nabla f=F.

Passo 2

Para um campo vetorial ser conservativo em um domínio simplesmente conexo, basta verificar se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y = partial partial yl(y,e^xr) = e^x, partial Qpartial x = partial partial xl(e^x+e^yr) = e^x
Como são iguais em todo R^2, que é simplesmente conexo, F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral y,e^x,dx = y,e^x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Diferenciando f em relação a y e igualando a Q, temos
partial fpartial y = e^x + h'(y) ;stackrel!=; Q(x,y) = e^x + e^y Longrightarrow h'(y) = e^y
Integrando h'(y), obtemos h(y) = e^y + C. Podemos escolher C=0 sem alterar o gradiente.

Resposta

O campo F é conservativo e um potencial escalar é
f(x,y) = y,e^x + e^y

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