Questão 9. Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas em cada caso:
  • lim x 0 f(x)=1
  • não existe lim x 1 f(x)
  • f é descontínua em x=0

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f tal que \r
1. limxto0f(x)=1, \r
2. não exista limxto1f(x), \r
3. f seja descontínua em x=0. \r
Para isso vamos usar uma definição por partes: manter f(x)=1 longe de x=1, fazer oscilar perto de x=1 (para que o limite não exista aí) e dar a f(0) um valor diferente de 1 (para causar descontinuidade em 0).

Passo 2

Escolhemos, por exemplo,
f(x)= 1,& xneq0, lvert x-1rvert >= tfrac12,[6pt] sin!(tfrac1x-1),& xneq1, lvert x-1rvert < tfrac12,[6pt] 0,& x=0,[3pt] 0,& x=1
Nesta definição, para x fora do intervalo (1-tfrac12,1+tfrac12) e diferente de 0, temos f(x)=1. Se x estiver no intervalo (1-tfrac12,1+tfrac12) mas xneq1, f(x) oscila como sin(tfrac1x-1). E em x=0 (e x=1) fixamos f no valor 0.]

Passo 3

Analisando limxto0f(x): \r
Quando xto0, temos |x-1|approx1> tfrac12, então f(x)=1 para todo x suficientemente próximo de 0 (mas xneq0). Logo \r
limxto0f(x)=1

Passo 4

Analisando limxto1f(x): \r
Para 0<|x-1|<tfrac12 usamos f(x)=sinl(tfrac1x-1r), que oscila entre -1 e 1 indefinidamente ao nos aproximarmos de 1. Isso impede a existência de limite em x=1.

Passo 5

Verificando a descontinuidade em x=0: \r
Temos limxto0f(x)=1 mas definimos f(0)=0. Como limxto0f(x)neq f(0), f é descontínua em 0.

Resposta

Um esboço do gráfico de f é:\r
– Uma reta horizontal em y=1 para xneq0 e |x-1|>=tfrac12, com um buraco em (0,1). \r
– Perto de x=1 (isto é, em 1-tfrac12<x<1+tfrac12) uma curva oscilante dada por y=sinl(tfrac1x-1r). \r
– Um ponto sólido em (0,0) (e também em (1,0)) para representar f(0)=0 (e f(1)=0). \r
\r
Esse gráfico satisfaz \r
limxto0f(x)=1, não há limite em x=1, e há descontinuidade em x=0.

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