Especifique o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência
e o intervalo de convergência, usando o teste da razão e depois testando os extremos.
Passo 2
Chamando
aplicamos o teste da razão:
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se
Logo o raio de convergência é
e a região de convergência aberta é
Passo 4
Falta verificar convergência nos extremos
x=-1 e
x=5 .
Para
x=5 temos
e a série
sum1/(n+1) diverge (harmônica). Logo não converge em
x=5 .
Para
x=-1 temos
que é série alternante com termos
1n+1 decrescentes a zero, logo converge (condicionalmente) pelo critério de Leibniz.
Resposta
O raio de convergência é
R=3 e o intervalo de convergência é