Especifique o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências.
sum (x-2)^n(n+1) 3^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=2:
sumn=0^infty(x-2)^n(n+1),3^n
O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, usando o teste da razão e depois testando os extremos.

Passo 2

Chamando
an = (x-2)^n(n+1),3^n,
aplicamos o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x-2|^,n+1(n+2),3^,n+1cdot(n+1),3^,n|x-2|^,n =|x-2|3,limntoinftyn+1n+2 =|x-2|3

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se
|x-2|3<1 Longrightarrow |x-2|<3
Logo o raio de convergência é
R=3
e a região de convergência aberta é
2-3<x<2+3 Longrightarrow -1<x<5

Passo 4

Falta verificar convergência nos extremos x=-1 e x=5.
Para x=5 temos
(x-2)^n=3^n Longrightarrow an=3^n(n+1)3^n=1n+1,
e a série sum1/(n+1) diverge (harmônica). Logo não converge em x=5.
Para x=-1 temos
(x-2)^n =(-3)^n Longrightarrow an=(-3)^n(n+1)3^n=(-1)^nn+1,
que é série alternante com termos 1n+1 decrescentes a zero, logo converge (condicionalmente) pelo critério de Leibniz.

Resposta

O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é
[-1,5)

Exercícios relacionados